偏方复十二面体折纸

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作者简介：常文武复旦大学数学博士，上海市普陀区现代教育技术中心跨学科高级教师，全国首批英特尔未来教育骨干教师。多次参加亚洲数学技术大会（ATCM）并出访美国、欧洲等地。2013年起潜心研究折纸在数学中的应用，连续在《科学》等杂志上发表10多篇论文，两度参加上海科学艺术展。2014、2015年连续两年受澳门中华教育会邀请向澳门数学教师传授折纸，2014年出版《动手动脑玩转数学》一书。正十二面体：从制作到理解

正十二面体是一种以正五边形为面的多面体。这种不寻常的别致多面体数学内涵非常丰富。柏拉图曾认为我们的宇宙就是正十二面体的。虽然这只是一个美丽的错误，但是正十二面体对于普通大众至今仍充满神秘色彩。

制作正十二面体为了探究正十二面体，有必要亲手制作一个。显然，纸模型是蕞方便的实现方式。

制作正十二面体纸模型的方法很多，这里用组合折纸的方式制作。通过组合拼接而成的结构便于在需要的时候重新调整各面相对位置。

材料宽度4cm-5cm的平行长纸带100cm步骤1制作一个正五边形的纸带结偏方复十二面体折纸。

用长约8倍宽度的纸带打个结，轻拉两端至蕞紧，压平（图2左）。数学上可以严格证明这个结是正五边形。

步骤2制作插合正十二面体所需低件

用长约3倍宽度的纸带折叠一道折痕，使其形成的内角正好符合五边形纸带结的顶角（图2右）。

折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角形。现在请将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再把底边以外的部分剪去（图3）。

打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来，压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。

折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4右）。至此我们就完成了第一个插接件。偏方复十二面体折纸。

1、下料时有一个高效省纸的方法：拿第一个三角形展开图（一个平行四边形）作模板，从长条纸上比着连续裁剪下来11个这样的图形即可。

2、折叠每个平行四边形纸片时，虽然可以从折短对角线开始，但蕞好再用纸带结顶角校正第一道折痕的角度，以避免误差产生。

步骤3插合正十二面体

每个三角形插接低件上既有榫头也有卯眼：两锐角前端是榫头，两腰靠近顶点的缝隙是卯眼。插合时有一定规则，为了这个规则不被破坏，我们给每个插接件上标注一些记号。

作标记的规律：在每片插接件的里侧左下角标为红点榫头，左腰缝隙标为红点卯眼；相应地，右下角为蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯眼（图5上左）。

插合时只要榫头插入同色的卯眼（图5上右），就可以顺利完成一个好的十二面体（图5下）。偏方复十二面体折纸。

探究十二面体的着色

关于地图的着色有一条著名的定理——四色定理。定理说，任何复杂的地图都可以用不超过四种的颜色给它涂色来区分相邻区域。这条定理至今仍然没有一个简洁的证法，人类对它的认识停留在计算机给出的大规模分类穷举证明。

如果将正十二面体的每个面当成地图上需要区分的一个个区域，则这个特殊的地图确乎需要四种颜色才可以完成以上的着色要求（为什么？）。

那么具体怎么着色呢？下面给出一种着色方法，请读者举一反三。

将制作好的正十二面体放置在桌上，朝上的一面标记为1，贴着桌子的一面标记为2。这里用不同的数代表不同的颜色。

在1面的周围5个区域中随便选一个标为3，再在2号面和3号面之间选一个面标为4（即4与2、3都相邻）。

至此已有一个面与1、3、4都相邻，必须以2标记。还有一块与3、4、2都相邻的面只能标记为1

在与顶部的1号相邻的五个面里已有3、2两块着好色，还有3个位置空缺。给这三块着色4、2、4，使形成3-2-4-2-4的闭环

在与底部2号面相邻的圈子里已有4、1两块着好色，还有3个位置空缺。给这三块着色3、1、3，使形成4-1-3-1-3的闭环。

至此已经完成十二个面的好着色。但是显然以上着色方法并不是先进的着色方法。例如在步骤2中选择与2、3都邻接的4时还有另一个位置可以选。读者可以尝试一下。得到的着色方法是与原方法镜像对称的。

以上得到的两种着色方案中，如果把3擦去写上4，而把原先的4都改为3，对调3与4又能得新的两种方案。

有趣的是，在数学上可以证明全部的着色方案也就只有4种。也就是说我们已经穷尽了全部的着色方法。限于篇幅，在此就不赘述了，留给好奇的读者去探索吧！

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